Главная >> Алгебра. 8 класс. Макарычев

 

 

 

 

§ 4. Действительные числа

Иррациональные числа

Пусть точка О — начальная точка координатной прямой и ОЕ — единичный отрезок. С помощью отрезка ОЕ можно измерить длину любого отрезка.

Измерим, например, длину отрезка ОB (рис. 9). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОB два раза, и при этом получается остаток СВ, который меньше единичного отрезка. Значит, число 2 есть приближённое значение (с недостатком) длины отрезка ОB с точностью до 1:

Чтобы получить более точный результат, разделим единичный отрезок ОЕ на 10 равных частей (рис. 10). Десятая часть отрезка ОЕ укладывается в остатке СВ три раза. При этом получается новый остаток DB, меньший десятой части отрезка ОЕ. Число 2,3 есть приближённое значение (с недостатком) длины отрезка ОB с точностью до 0,1:

Продолжая процесс измерения, мы будем использовать сотую, тысячную и т. д. доли единичного отрезка и получать приближённые значения длины отрезка ОB (с недостатком) с точностью до 0,01, 0,001 и т. д.

В процессе десятичного измерения могут представиться два случая: либо на каком-то шаге не получится остатка, либо остатки будут получаться на каждом шаге.

В первом случае результатом измерения окажется натуральное число или десятичная дробь, во втором случае — бесконечная десятичная дробь. Так как всякое натуральное число и всякую десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, то можно считать, что результатом десятичного измерения длины отрезка всегда является бесконечная десятичная дробь.

Пример 1. Пусть отрезок ОС равен единичного отрезка. При десятичном измерении его длины получим число 1,75, т. е. ту же десятичную дробь, что и при делении 7 на 4. Результат измерения можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби 1,75000... .

Пример 2. Пусть отрезок OF равен единичного отрезка. При десятичном измерении его длины, как и при делении 8 на 3, получится бесконечная десятичная периодическая дробь 2,666... .

Пример 3. Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит единичный отрезок (рис. 11). Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат (рис. 12). Из рисунка 12 видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2.

При десятичном измерении отрезка ОК получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясняется тем, что

среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.

Продолжение >>>

 

 

Рейтинг@Mail.ru