Главная >> Алгебра 9 класс. Макарычев

 

 

 

 

§ 9. Арифметическая прогрессия

Последовательности

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6, четвертое 8 и т. д. Получим последовательность

    2; 4; 6; 8; ... .

Ясно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом — число 20, на сотом — число 200. Вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую дробь, стоящую в этой последовательности на n-м месте; она равна Так, на шестом месте должна стоять дробь на тридцатом — дробь на тысячном — дробь

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например а1, а2, а3, а4 и т. д. (читают: «а первое, а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают аn. Саму последовательность будем обозначать так: (аn).

В рассмотренных примерах мы имели дело с последовательностями, содержащими бесконечно много членов. Такие последовательности называются бесконечными.

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной. Например, конечной является последовательность двузначных чисел

    10; 11; 12; 13; ... ; 98; 99.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой аn = 2n, последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, — формулой Приведем другие примеры.

Пример 1. Пусть последовательность задана формулой уn = n2 - 3га. Подставляя вместо га натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем

    y1 = -2, у2 = -2, у3 = 0, у4 = 4, у5 = 10, ... .

Рассматриваемая последовательность начинается так:

    -2; -2; 0; 4; 10; ... .

Пример 2. Пусть последовательность задана формулой хn = (-1)n • 10. Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны -10, а с четными номерами равны 10:

    х1 = -10, х2 = 10, х3 = -10, х4 = 10, ... .

Получаем последовательность

    -10; 10; -10; 10; -10; ... .

Пример 3. Формулой сn — 5 задается последовательность, все члены которой равны 5:

    5; 5; 5; 5; 5; ... .

Рассмотрим еще один способ задания последовательности. Он состоит в том, что указывают ее первый член или первые несколько членов и формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько). Такую формулу называют рекуррентной (от латинского слова recurro — возвращаться), а соответствующий способ задания последовательности — рекуррентным способом.

Приведем пример задания последовательности рекуррентным способом.

Пример 4. Пусть (un) — последовательность, в которой n1 = 1, u2 = 1, un + 1 = un + un - 1 при n > 2.

Выпишем первые несколько ее членов:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

Эта последовательность описана в работах итальянского математика Леонардо из Пизы, известного под именем Леонардо Фибоначчи (1180—1240). Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи.

Окончание >>>

 

 

Рейтинг@Mail.ru