Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

 

 

 

 

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Задачи к § 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

564. Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

565. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

566. Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника APQ равен 21 см.

567. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

568. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

    а) прямоугольника;
    б) равнобедренной трапеции.

569. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

570. Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM.

571. В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S.

В задачах 572—574 использованы следующие обозначения для прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С и высотой СН: ВС = а, С А = b, АВ = с, CH = h, AH = bc, НВ = аc.

572. Найдите: а) h, а и b, если bc = 25, аc = 16; б) h, а и b, если bc = 36, аc = 64; в) а, с и аc, если b = 12, bc = 6; г) b, с и bс, если а = 8, аc = 4; д) h, b, аc и bc, если а = 6, с = 9.

573. Выразите аc и bc через а, b и с.

574. Докажите, что:

575. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого утла.

576. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

577. В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

578. Используя утверждение 20, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С выполняется равенство АС2 + ВС2 = АВ2.

Решение

Пусть CD — высота треугольника АВС (см. рис. 197). На основании утверждения 20, п. 65, имеем или АС2 = AD • АВ. Аналогично ВС2 = BD • АВ. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что AD + BD = АВ, получаем:

    АС2 + ВС2 = AD • АВ + BD • АВ = (AD + BD) • АВ = АВ2.

Продолжение >>>

 

 

Рейтинг@Mail.ru