Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

 

 

 

 

§ 3. Уравнения окружности и прямой

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности радиуса г с центром С в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка С имеет координаты (x0; у0) (рис. 286). Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной окружности, то МС = r, МС2 = r2, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

    (х - х0)2 + (у - у0)2 = r2.                     (1)

Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС2 ≠ r2, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С (х0; у0) имеет вид:

    (х - х1)2 + (у - у0)2 = r2.

В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

    х2 + у2 = r2.

Задача

Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Решение

Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в виде (х + 3)2 + (у - 4)2 = r2, где r — пока неизвестный радиус окружности. Найдём его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т. е. координаты точки О (0; 0) удовлетворяют этому уравнению: (0 + 3)2 + (0 - 4)2 = r2. Отсюда r2 = 25, и, значит, r = 5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид (х + 3)2 + (у - 4)2 = 25.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение х2 + у2 + 6х - 8у = 0, которое также является уравнением данной окружности.

 

 

Рейтинг@Mail.ru