Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

 

 

 

 

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, например, что

    а2 = b2 + с2 - 2bc cos А.                 (1)

    Рис. 263

Введём систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке 293. Тогда точка В будет иметь координаты (с; 0), а точка С — координаты (b cos A; b sin А). По формуле расстояния между двумя точками получаем:

    ВС2 - a2 = (b cos А - с)2 + b2 sin2 А =
    = b2 cos2 А + b2 sin2 А - 2be cos А + с2 =
    = b2 + с2 - 2bc cos А.

Теорема доказана.

Теорему косинусов называют иногда обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А = cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем

    а2 = b2 + с2,

т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

 

 

Рейтинг@Mail.ru