Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

 

 

 

 

§ 1. Правильные многоугольники

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Теорема

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Пусть А1А2А3...Аn — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А1 и А2 (рис. 307).

    Рис. 307

Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1 = ОА2 = ... = ОАn. Так как ∠A1 = ∠A2, то ∠1 = ∠3, поэтому треугольник А1А2O равнобедренный: в нём ОА1 = ОА2. Треугольники А1A2О и А2А3О равны по двум сторонам и углу между ними (A1A2 = А3А2, А2O — общая сторона и ∠3 = ∠4), следовательно, ОА3 = ОА1. Точно так же можно доказать, что ОА4 = ОА2, ОА5 = ОА3 и т. д.

Итак, ОА1 = ОА2 = ... = ОАn, т. е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом OA1 является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А1, А2, А3. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A1A2A3...An можно описать только одну окружность. Теорема доказана.

 

 

Рейтинг@Mail.ru