Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

 

 

 

 

§ 1. Правильные многоугольники

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Теорема

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Пусть А2...Аn — правильный многоугольник, О — центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ОА1А2 = ОА2А3 = ... = ОАnА1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: ОН1 = ОН2 =... = ОНn. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки H1, Н2, ..., Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.

    Рис. 308

Докажем теперь, что вписанная окружность только одна.

Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН1 есть и другая окружность, вписанная в многоугольник А1А2...Аn. Тогда её центр О1 равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН1. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.

Следствие 1

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

 

 

Рейтинг@Mail.ru