Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

 

 

 

 

Глава XIII. Движения

Дополнительные задачи к главе XIII. Движения

1172. При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя.

1173. При данном движении каждая из вершин треугольника АВС отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

1174. Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.

1175. Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение.

1176. Даны острый угол АВС и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.

1177. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что А1В1С1 = А2В2С2.

Решение

Так как М — точка пересечения медиан треугольника АВС, то AM = 2МА1. Отсюда, учитывая, что точка А2 — середина отрезка AM, получаем МА1 = МА2, т. е. точки А1 и А2 симметричны относительно точки М. Аналогично точки В1 и В2, а также точки С1 и С2 симметричны относительно точки М. Рассмотрим центральную симметрию относительно точки М. При этой симметрии точки А1, В1, С1 отображаются в точки А2, В2, С2, поэтому треугольник А1В1С1 отображается на треугольник А2В2С2, и, следовательно, А2В2С2 = А1В1С1.

1178. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.

    Рис. 332

1179.* На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS так, как показано на рисунке 333: CC1 ⊥ AS, DD1 ⊥ BS. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ взаимно перпендикулярны.

    Рис. 333

1180. В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника АВС и А1В1С1, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге АВС от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А1В1С1 от точки А1 к точке С1. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.

Окончание >>>

 

 

Рейтинг@Mail.ru