§ 1. Числовые и алгебраические выражения (окончание)

Пример 2. Найти значение алгебраического выражения

если: a) а = 1, b = 2; б) а = 3,7, b = -1,7;

Р е ш е н и е.

а) Соблюдая порядок действий, последовательно находим:

1) а² + 2ab + b² = 1² + 2 • 1 -2 + 2² = 1 + 4 + 4 = 9;
2) а + b = 1 + 2 = 3;
3) а - b = 1 - 2 = -1;
4) (а + b)(а -b) = 3 (-1) = -3;

б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно находим:

1) а² + 2аb + b² = 3,7² + 2 • 3,7 • (-1,7) + (-1,7)² = 13,69 - 12,58 + 2,89 = 4;
2) а + b = 3,7 4- (-1,7) = 2;
3) а - b = 3,7 - (-1,7) = 5,4;
4) (а + 5)(а - b) = 2 • 5,4 = 10,8;

(разделили числитель и знаменатель дроби на 4, т. е. сократили дробь).

в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно находим:

А на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и в других аналогичных случаях)? Это значит, что при заданное алгебраическое выражение не имеет смысла.

Используется такая терминология: если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называют допустимыми; если же при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения переменных называют недопустимыми. Так, в примере 2 значения а = 1 и b = 2, а = 3,7 и b = -1,7 — допустимые, тогда как значения — недопустимые (более точно: первые две пары значений — допустимые, а третья пара значений — недопустимая).

Вообще в примере 2 недопустимыми будут такие значения переменных а, Ь, при которых либо а + b = 0, либо а - b = 0. Например, а = = 7, b = -7 или а = 28,3, b = 28,3 — недопустимые пары значений; в первом случае а + b = 0, а во втором случае а - b = 0. В обоих случаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается в нуль, а на нуль, повторим ещё раз, делить нельзя. Теперь, наверное, вы и сами сможете придумать как допустимые пары значений для переменных а, b, так и недопустимые пары значений этих переменных в примере 2. Попробуйте!

Замечание 1. Пример 2в) на самом деле мы решали плохо (некультурно), поскольку сделали ряд лишних, ненужных вычислений. Надо было сразу заметить, что при знаменатель обращается в нуль, и объявить: выражение не имеет смысла! Но, как говорится, сразу замечает тот, кто знает, что надо замечать. Этому и учит алгебра.

Замечание 2. Если бы мы с вами решали пример 2 позднее, то сделали бы это лучше. Мы бы смогли преобразовать выражение к более простому виду а тогда, согласитесь, гораздо проще было бы и вычислять. А вот почему верно равенство пока мы сказать не можем. На этот вопрос ответим позднее (см. с. 152, § 35).