§ 1. Числовые и алгебраические выражения

В младших классах вы учились оперировать с целыми и дробными числами, решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной прямой и координатной плоскостью. Всё это составляло содержание одного школьного предмета «Математика». В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т. д. У каждой дисциплины — свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности.

Алгебра, к изучению которой мы приступаем, даёт человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, чётче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача — помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача — не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая возникающие трудности.

На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения.

Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 5 • 7 — числовое выражение, тогда как 3 + : — не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита), тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, формулы.

Пример 1. Найти значение числового выражения

Р е ш е н и е. Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете.

Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для удобства введём следующие обозначения. Числитель данного дробного выражения обозначим буквой А, а знаменатель — буквой В:

В выражении А обозначим делимое буквой С, а делитель — буквой D. Тогда план наших действий будет выглядеть так:

1) найдём значение с выражения С;
2) найдём значение d выражения D;
3) разделив с на d, найдём значение а выражения А;
4) найдём значение b выражения В;
5) разделив а на b, найдём значение заданного числового выражения.

Итак, план вычислений есть (а наличие плана — половина успеха!), приступим к его реализации.

1) С = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, считать подряд или, как иногда говорят, «в лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить 3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так:

(2,73 + 3,27) + (4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.

Итак, с = 8.

2) Здесь нам придется вспомнить, как действовать с обыкновенными дробями. Сначала надо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным 5 и 15 является число 15, оно и будет общим знаменателем. Для дроби получаем Далее находим

Итак,

Продолжение >>>