§ 3. Что такое математическая модель

Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса. В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7Б — 12 девочек и 12 мальчиков, в 7В — 9 девочек и 18 мальчиков, в 7Г — 20 девочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придётся осуществлять одну и ту же операцию сложения:

в 7А 15 + 13 = 28 учеников:

в 7Б 12 + 12 = 24 ученика;

в 7В 9 + 18 = 27 учеников;

в 7Г 20 + 10 = 30 учеников.

Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся а девочек и Ъ мальчиков, значит, всего учеников а + b. Такова математическая модель данной реальной ситуации. Алгебра, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные математические правила, свойства, законы.

В следующей таблице приведены различные реальные ситуации и их математические модели; при этом а — число девочек в классе, b — число мальчиков в том же классе.

Составляя эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к её математической модели. Но надо уметь двигаться и в обратном направлении, т. е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях, что и в нашей таблице) такая математическая модель: а - 5 = b + 5? Она означает, что если из класса уйдут 5 девочек и придут 5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе станет поровну (эта ситуация имеет место в 7Г из рассмотренного примера).

Наверное, у вас возник вопрос: а зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она нам даёт, кроме краткой выразительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу.

Пример 1. В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?

Р е ш е н и е. Пусть х — число мальчиков в классе, тогда 2х — число девочек. Если уйдут три девочки, то останется (2х - 3) девочек. Если придут три мальчика, то станет (х + 3) мальчиков. По условию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков; на математическом языке это записывается так: (2х - 3) - (х + 3) = 4.

Это уравнение — математическая модель задачи. Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем:

2x - 3 - x - 3 = 4 (раскрыли скобки);

x - 6 = 4 (привели подобные слагаемые);

х = 6 + 4;

x = 10.

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчиков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза больше). Ответ: всего в классе 30 учеников.

Интересно, заметили ли вы, что в ходе решения было чёткое разделение рассуждений на три этапа? Давайте посмотрим вместе.

На первом этапе, введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, мы составили математическую модель в виде уравнения (2х - 3) - (х + 3) = 4.

На втором этапе, используя наши знания из курса математики 5—6-го классов, мы это уравнение решили: х = 10. На этом этапе мы не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались «чистой» математикой, работали только с математической моделью.

На третьем этапе мы использовали полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к девочкам, мальчикам и интересующему нас классу.

Окончание >>>