Рациональные числа

В этой главе вы узнаете, что, кроме известных вам рациональных чисел, существуют ещё иррациональные, которые вместе с рациональными числами образуют множество действительных чисел. Впервые вы встретитесь с понятием квадратного корня, узнаете, как можно находить значение квадратного корня из числа с помощью калькулятора. Вы изучите свойства корней, научитесь применять их в вычислениях и преобразованиях, познакомитесь с новой функцией у = √x, с её свойствами и графиком. Советуем обратить внимание на взаимное расположение графиков функций у = х², где х ≥ 0, и у = √x. Вы узнаете, что графики этих функций симметричны относительно прямой у = х.

В курсе математики вы встречались с различными числами. Числа 1, 2, 3, ..., которые употребляются при счёте, называются натуральными числами. Они образуют множество натуральных чисел. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел.

Кроме целых, вам известны дробные числа (положительные и отрицательные). Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis — естественный, природный),
множество целых чисел — буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число),
множество рациональных чисел — буквой Q (от первой буквы французского слова quotient — отношение).

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак ∈. Например, утверждение, что число 2 является натуральным (или что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так: 2 ∈ N. Число -2 не является натуральным; это можно записать с помощью знака ∉: -2 ∉ N.

Пусть каждый элемент множества В является элементом множества А. В таких случаях множество В называют подмножеством множества А. Это записывают так: В ⊂ А (читают: В — подмножество множества А).

Ведём теперь понятие разности множеств.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Например, разностью множества целых чисел Z и множества натуральных чисел N является множество, состоящее из всех целых отрицательных чисел и нуля.

Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби где m — целое число, а п — натуральное. Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами.

Например,

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.

Термин «рациональное число» произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное).

Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Представим в виде десятичной дроби число Для этого разделим числитель дроби на её знаменатель. Получим:

Таким образом,

Точно так же можно показать, что

Продолжение >>>