О квадратных уравнениях

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (х² ± х = а) умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Задачи на построения с помощью циркуля и линейки сводятся по существу к решению квадратных уравнений и рассмотрению выражений, содержащих квадратные корни.

Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас б из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах = b или ах² = b. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились.

Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду ах² + bх = с, где а > 0, дал индийский учёный Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений, записываемых в современных обозначениях как уравнения вида ах² = bх, ах² = с, ах² + с = bх, ах² + bх = с, bх + с = ах² (буквами а, b и с обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали), и отыскивает только положительные корни.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду х² + bх = с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487—1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595—1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так: корнями уравнения (а + b)х - х² = ab являются числа а и b.