Преобразование рациональных выражений

Рациональное выражение представляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на многочлен. Деление на х² - 3у² можно заменить умножением на дробь Поэтому преобразование данного выражения сводится к сложению дробей и умножению результата на дробь Вообще преобразование любого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.

Из правил действий с дробями следует, что сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей всегда можно представить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение

Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена х + 1:

Запись можно вести иначе:

Пример 2. Представим выражение

в виде рациональной дроби.

Сначала сложим дроби, заключённые в скобки, затем найденный результат умножим на дробь и, наконец, к полученному произведению прибавим 1:

Пример 3. Представим выражение в виде рациональной дроби.

Преобразование можно вести по-разному. Можно представить в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель, а затем разделить первый результат на второй. А можно умножить числитель и знаменатель на ху, воспользовавшись основным свойством дроби:

Пример 4. Пешеход отправился из посёлка А на станцию В со скоростью υ₁ км/ч. Придя на станцию, он обнаружил, что оставил дома необходимые документы, и возвратился обратно в посёлок со скоростью υ₂ км/ч. Взяв документы, он снова пошёл на станцию со скоростью υ₃ км/ч. Выясните, какой была средняя скорость пешехода на всём пройденном им пути.

Пусть расстояние АВ равно s км. Тогда на путь от А до В пешеход затратил сначала на путь от В до А — а на повторное прохождение пути от А до В — За это время он прошёл 3s км. Теперь можно найти среднюю скорость υ_cp пешехода на всём пути:

Сократив данную дробь на s, найдём, что

Мы получили формулу для вычисления средней скорости, если известны скорости υ₁, υ₂, υ₃ на каждом из трёх участков одинаковой длины. Из полученного равенства видно, что средняя скорость движения пешехода не равна среднему арифметическому скоростей υ₁, υ₂ и υ₃. Она вычисляется по более сложной формуле, которую называют формулой среднего гармонического трёх чисел.

Средняя скорость движения на двух участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел:

где υ₁ и υ₂ — скорости на этих участках.

Средняя скорость движения на четырёх участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического четырёх чисел:

где υ₁, υ₂, υ₃, υ₄ — скорости на этих участках.

Вообще если мы имеем некоторый ряд положительных чисел a₁, а₂, ... , a_n, то среднее гармоническое этого ряда вычисляется по формуле

Эту формулу иногда записывают в другом виде:

Из этой записи видно, что величина, обратная среднему гармоническому нескольких положительных чисел, равна среднему арифметическому чисел, им обратных.

Продолжение >>>