Решение систем уравнений второй степени

Рассмотрим сначала системы уравнений с двумя переменными, составленные из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Такую систему всегда можно решить способом подстановки. Для этого поступают следующим образом:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример 1. Решим систему уравнений

Выразим из второго уравнения переменную х через у:

х = 1 - 2у.

Подставим в первое уравнение вместо х выражение 1 - 2у, получим уравнение с переменной у:

(1 - 2у)² - 3(1 - 2у)у - 2у² = 2.

После упрощения получим равносильное уравнение

8у² - 7у - 1 = 0.

Решив его, найдем, что

Соответствующие значения х можно найти, подставив найденные значения у в одно из уравнений системы, например во второе уравнение. Удобнее, однако, воспользоваться формулой х = 1 - 2у.

Подставив в формулу х = 1 - 2у значение получим

Подставив в формулу х = 1 - 2у значение у₂ = 1, получим

Итак, система имеет два решения:

Ответ можно записать также в виде пар:

Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения.

Пример 2. Решим систему уравнений

Воспользовавшись тем, что х ≠ 0, выразим из второго уравнения переменную у через х:

Подставим в первое уравнение вместо у выражение Получим уравнение

Решив его, найдем, что

х₁ = -3, х₂ = 3.

По формуле находим соответствующие значения у:

у₁ = 2, у₂ = 2.

Значит, система имеет два решения:

х₁ = -3, у₁ = -2 и х₂ = 3, у₂ = 2.

Ответ: (-3; -2), (3; 2).

Продолжение >>>