Дополнительные упражнения к параграфу 10

701. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n):

а) b₁; b₂; 225; -135; 81; 66; ... ; б) b₁; b₂; b₃, 36; 54; ... .

702. Последовательность (х_n) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

703. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии?

704. Является ли геометрической прогрессией последовательность (х_n), если:

а) х_n = 2ⁿ;
б) х_n = 3^-n;

в) х_n = n²;
г) x_n = abⁿ, где а ≠ 0, b ≠ 0?

705. Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии (b_n). Найдите b_n, если:

706. Первый и девятый члены геометрической прогрессии равны соответственно 135 и Найдите заключенные между ними члены этой прогрессии.

707. Последовательность (6_n) — геометрическая прогрессия. Докажите, что:

а) если b1 > 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;
б) если b1 > 0 и 0 < g < 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
в) если b1 < 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
г) если b1 < 0 и 0 < g < 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.

Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.

708. Докажите, что если (а_n) — геометрическая прогрессия, то:

а) а₂ • а₆ = а₃ • а₅; б) а_{n - 3} • а_{n + 8} = а_n • а_{n + 5}, где n > 3.

709. Докажите, что если b_n и b_m — члены геометрической прогрессии, знаменатель которой равен q, то b_n = b_mq^{n - m}.

710. В геометрической прогрессии (х_n):

711. Сумму первых л членов последовательности (х_n) можно найти по формуле Докажите, что последовательность (х_n) — геометрическая прогрессия. Найдите q и x₁.

712. Геометрическая прогрессия состоит из 15 членов. Сумма первых пяти членов равна а сумма следующих пяти членов равна Найдите сумму последних членов этой прогрессии.

713. Упростите выражение, применив формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

а) 1 + х + х² + х³ + х⁴, где х ≠ 1 и х ≠ 0;
б) 1 - х + х² - х³ + х⁴ - х⁵ + х⁶, где х ≠ -1 и х ≠ 0.

Ответы

705.

710. а) х1 = 27, б) q = 2, n = 4; в) n = 6, г) х1 = 2√3, n = 5.

711. q = 5, х₁ = 3.

712. 176.