Масса и плотность Земли

Более точная формула третьего закона Кеплера, которая была получена Ньютоном, даёт возможность определить одну из важнейших характеристик любого небесного тела — массу. Выведем эту формулу, считая (в первом приближении) орбиты планет круговыми.

Пусть два тела, имеющие массы m₁, и m₂, взаимно притягивающиеся и обращающиеся вокруг общего центра масс, находятся от центра масс на расстоянии r₁ и r₂ и обращаются вокруг него с периодом Т. Расстояние между их центрами R = r₁ + r₂. На основании закона всемирного тяготения ускорение каждого из этих тел равно:

Угловая скорость обращения вокруг центра масс составляет Тогда центростремительное ускорение выразится для каждого тела так:

Приравняв полученные для ускорений выражения, выразив из них r₁, и r₂ и сложив их почленно, получаем:

откуда

Поскольку в правой части этого выражения находятся только постоянные величины, оно справедливо для любой системы двух тел, взаимодействующих по закону тяготения и обращающихся вокруг общего центра масс, — Солнце и планета, планета и спутник. Определим массу Солнца, для этого запишем выражение:

где М — масса Солнца; m₁ — масса Земли; m₂ — масса Луны; Т₁ и a₁ — период обращения Земли вокруг Солнца (год) и большая полуось её орбиты; Т₂ и а₂ — период обращения Луны вокруг Земли и большая полуось лунной орбиты.

Пренебрегая массой Земли, которая ничтожно мала по сравнению с массой Солнца, и массой Луны, которая в 81 раз меньше массы Земли, получим:

Подставив в формулу соответствующие значения и приняв массу Земли за единицу, мы получим, что Солнце примерно в 333 тыс. раз по массе больше нашей планеты.

Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они оказывают на движение астероидов, комет или космических аппаратов, пролетающих в их окрестностях. Об определении массы звёзд см. в § 23.