|
|
|
§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач Средняя линия треугольникаСредней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажем теорему о средней линии треугольника. Теорема
Доказательство Пусть MN — средняя линия треугольника АВС (рис. 195). Докажем, что MN || AC и
Треугольники BMN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (∠B — общий Пользуясь этой теоремой, решим следующую задачу: Задача 1 Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Решение Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА1 и ВВ1 и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника (рис. 196). Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущими АА1 и ВВ1. Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
Но АВ = 2А1В1, поэтому АО= 2А1О и ВО = = 2В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
|
|
|