|
|
|
§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаРассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 206). Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Синус, косинус и тангенс угла, равного а, обозначаются символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке 206
Из формул (1) и (2) получаем:
т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла. Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. В самом деле, пусть АВС и А1В1С1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и С1 и равными острыми углами А и А1. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Из этих равенств следует, что Докажем теперь справедливость равенства
Из формул (1) и (2) получаем
По теореме Пифагора ВС2 + АС2 = АВ2, поэтому sin2 А + cos2 А = 1. Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством1. 1 Слово «тригонометрия» в переводе с греческого языка означает «измерение треугольников».
|
|
|