|
|
|
|
|
§ 2. Центральные и вписанные углы
Задачи к § 2. Центральные и вписанные углы (продолжение)664. Прямая AM — касательная к окружности, АВ — хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ. 665. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то ∠C > ∠A и ∠C > ∠B. 666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = 16, ВЕ = 9, CE = ED;
667. 668. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр. 669. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков. 670. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ2 = АР • AQ. 671. 672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В1 и С1, а другая — в точках В2 и С2. Докажите, что АВ1 • АС1 = АВ2 • АС2. 673. Решение Пусть даны окружность с центром О и точка А вне этой окружности. Допустим, что задача решена и АВ — искомая касательная (рис. 223). Так как прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОВ, то решение задачи сводится к построению точки В окружности, для которой ∠ABO прямой. Эту точку можно построить следующим образом: проводим отрезок ОА и строим его середину О1. Затем проводим окружность с центром в точке Ох радиуса О1А. Эта окружность пересекает данную окружность в двух точках: В1В1. Прямые АВ и АВ1 — искомые касательные, так как АВ ⊥ ОВ и АВ1 ⊥ ОВ1. Действительно, углы АВО и АВ1O, вписанные в окружность с центром О1, опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Очевидно, задача имеет два решения.
|
Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает её в точке С. Найдите ВВ1 если АС = 4 см, СА1 = 8 см.
|
|