Дополнительные задачи к главе IX. Векторы

800. Докажите, что если векторы сонаправлены, то а если противоположно направлены, причём то

801. Докажите, что для любых векторов справедливы неравенства

802. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор через векторы

803. На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответственно точки X и Y так, что Выразите векторы через векторы

804. Основание AD трапеции ABCD в три раза больше основания ВС. На стороне AD отмечена такая точка К, что Выразите векторы через векторы

805. Три точки А, В и С расположены так, что Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

806. Точка С делит отрезок АВ в отношении m : n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

807. Отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ — медианы треугольника АВС, О — произвольная точка. Докажите, что

808.* Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство

809. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны а.

810. Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Ответы к дополнительным задачам главы IX

801. Указание. Если векторы не коллинеарны, то воспользоваться правилом треугольника сложения векторов, и если они коллинеарны — задачей 800.

802.

803.

804.

809.

810. Указание. Воспользоваться теоремой п. 74.