Задачи повышенной трудности к главе IX. Векторы

903 Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Решение

1. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора справедливо равенство Если то справедливость этого равенства очевидна. Пусть Имеем:

Далее, если kl ≥ 0, то если же kl < 0, то И в том и в другом случае Следовательно,

2. Докажем, что для любого числа k и любых векторов и справедливо равенство Если k = 0, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть k ≠ 0. Рассмотрим случай, когда векторы и не коллинеарны (случай рассмотрите самостоятельно). Отложим от какой-нибудь точки О векторы а от точек А₁ и А — векторы (рис. 272, а, б). Треугольники ОА₁В₁ и ОАВ подобны с коэффициентом подобия Следовательно, С другой стороны, Итак,

3. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора справедливо равенство Если k = l = 0, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы одно из чисел k, l отлично от нуля. Для определённости будем считать, что | k | ≥ |l|, и, следовательно, k ≠ 0 и

Рассмотрим вектор Очевидно, Далее,

Следовательно, согласно определению произведения вектора на число, Умножая обе части этого равенства на k, получим, что справедливо равенство

904. Даны четырёхугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырёхугольник, если

905. Даны четырёхугольник ABCD и точка О. Точки Е, F, G и Н симметричны точке О относительно середин сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно. Что представляет собой четырёхугольник EFGH?

906. Дан треугольник АВС. Докажите, что вектор направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.

907. Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что k + 1 + m = О и для произвольной точки О выполняется равенство

908. Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

909. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах А, В и С пересекают прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках А₁, В₁ и С₁. Используя векторы, докажите, что точки A₁, В₁ и C₁ лежат на одной прямой.

910. Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника АВС, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2 : 1, считая от точки Н, т. е.

Ответы >>>