|
|
|
Глава IX. Векторы Задачи повышенной трудности к главе IX. Векторы903 Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86). Решение 1. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора Далее, если kl ≥ 0, то 2. Докажем, что для любого числа k и любых векторов 3. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора Рассмотрим вектор Следовательно, согласно определению произведения вектора на число, 904. Даны четырёхугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырёхугольник, если 905. Даны четырёхугольник ABCD и точка О. Точки Е, F, G и Н симметричны точке О относительно середин сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно. Что представляет собой четырёхугольник EFGH? 906. Дан треугольник АВС. Докажите, что вектор 907. Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что k + 1 + m = О и для произвольной точки О выполняется равенство 908. Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой. 909. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах А, В и С пересекают прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и С1. Используя векторы, докажите, что точки A1, В1 и C1 лежат на одной прямой. 910. Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника АВС, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2 : 1, считая от точки Н, т. е.
|
|
|