Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Теорема

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Пусть А1А₂...А_n — правильный многоугольник, О — центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ОА₁А₂ = ОА₂А₃ = ... = ОА_nА₁, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: ОН₁ = ОН₂ =... = ОН_n. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН₁ проходит через точки H₁, Н₂, ..., Н_n и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.

Рис. 308

Докажем теперь, что вписанная окружность только одна.

Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН₁ есть и другая окружность, вписанная в многоугольник А₁А₂...А_n. Тогда её центр О₁ равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН₁. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.

Следствие 1

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Эта точка называется центром правильного многоугольника.