Наложения и движения (окончание)

Теорема

Любое движение является наложением.

Доказательство

Рассмотрим произвольное движение (обозначим его буквой g) и докажем, что оно является наложением. Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При движении g он отображается на равный ему треугольник А₁В₁С₁. По определению равных треугольников существует наложение ƒ, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁.

Докажем, что движение g совпадает с наложением ƒ. Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при движении g отображается в точку М„ а при наложении ƒ — в другую точку М2. Так как при отображениях ƒ u g сохраняются расстояния, то AM = А₁М₁, AM = А₁М₂, поэтому A₁M₁ = А₁М₂, т. е. точка А₁ равноудалена от точек М₁ и М₂ (рис. 328). Аналогично доказывается, что точки В₁ и С₁ равноудалены от точек М₁ и М₂. Отсюда следует, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М₁М₂. Но это невозможно, так как вершины треугольника А₁В₁С₁ не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения ƒ u g совпадают, т. е. движение g является наложением. Теорема доказана.

Рис. 328

Следствие

При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

<<< К началу