Дополнительные задачи к главе XIII. Движения

1172. При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя.

1173. При данном движении каждая из вершин треугольника АВС отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

1174. Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.

1175. Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение.

1176. Даны острый угол АВС и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.

1177. Медианы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂ являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что А₁В₁С₁ = А₂В₂С₂.

Решение

Так как М — точка пересечения медиан треугольника АВС, то AM = 2МА₁. Отсюда, учитывая, что точка А₂ — середина отрезка AM, получаем МА₁ = МА₂, т. е. точки А₁ и А₂ симметричны относительно точки М. Аналогично точки В₁ и В₂, а также точки С₁ и С₂ симметричны относительно точки М. Рассмотрим центральную симметрию относительно точки М. При этой симметрии точки А₁, В₁, С₁ отображаются в точки А₂, В₂, С₂, поэтому треугольник А₁В₁С₁ отображается на треугольник А₂В₂С₂, и, следовательно, А₂В₂С₂ = А₁В₁С₁.

1178. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.

Рис. 332

1179.* На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS так, как показано на рисунке 333: CC₁ ⊥ AS, DD₁ ⊥ BS. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ взаимно перпендикулярны.

Рис. 333

1180. В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника АВС и А₁В₁С₁, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге АВС от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А₁В₁С₁ от точки А₁ к точке С₁. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.

Окончание >>>