Задачи к § 2. Тела и поверхности вращения (продолжение)

1220. Пусть h, r и V — соответственно высота, радиус основания и объём конуса. Найдите: а) V, если h = 3 см, r = 1,5 см; б) h, если r = 4 см, V=48 π cм³; в) r, если h = m, V = p.

1221. Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.

1222. Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм². Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в 60°. Найдите объём конуса.

1223. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

1224.* Докажите, что объём шара радиуса R равен

Решение

Рассмотрим два тела: половину шара радиуса R и тело Т, представляющее собой цилиндр радиуса R с высотой R, из которого вырезан конус с радиусом основания и высотой R. Представим себе, что оба тела «стоят» на плоскости а так, как показано на рисунке 368. Проведём секущую плоскость β, параллельную плоскости α и пересекающую радиус шара ОА, перпендикулярный к плоскости α, в точке А₁, а высоту ВН конуса — в точке В₁.

Сечение половины шара представляет собой круг радиуса (см. рис. 368). Поэтому площадь этого круга равна π (R² - OA²).

Рис. 368

Сечение тела Т представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов: круга радиуса R и круга радиуса В₁В₂ (см. рис. 368), т. е. равна Но В₁В₂ = ВВ₁ (объясните почему) и, кроме того, ВВ₁ = ОА₁ (доказательство этого наглядно очевидного факта будет приведено в курсе стереометрии 10—11 классов).

Таким образом, площадь сечения половины шара равна площади сечения тела Т. Поэтому и объём половины шара равен объёму этого тела. В свою очередь, объём V тела Т можно вычислить как разность объёмов цилиндра и конуса:

Итак, объём половины шара равен и, следовательно, объём всего шара равен

1223. Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.

Решение

Если толщина слоя краски равна d, то объём краски, затраченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух шаров: шара радиуса R + d и шара радиуса R, т. е. равен

При покраске многоугольника площади S слоем толщины d объём затраченной краски равен Sd, поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Приравнивая эти два объёма и сокращая на d, находим S:

Замечание

Если толщина d слоя краски очень мала по сравнению с радиусом R сферы, то величина S приблизительно равна Основываясь на проведённых рассуждениях, естественно принять за площадь сферы величину 4πR².

<<< К началу Ответы >>>