|
|
|
§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника Свойства равнобедренного треугольникаТреугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а). Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (рис. 63, б).
Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника. Теорема
Доказательство Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что ∠B = ∠C. Пусть AD — биссектриса треугольника АВС (рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠1 = ∠2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B = ∠C. Теорема доказана.
Теорема
Доказательство Обратимся снова к рисунку 64, на котором Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и ∠3 = ∠4. Равенство BD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана. Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:
|
|
|