Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

Глава II. Треугольники

Дополнительные задачи к главе II (продолжение)

169. На рисунке 95 OC = OD, ОВ = ОЕ. Докажите, что AB = EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке 95), основанный на этой задаче.

170. Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, если АВ = А₁В₁, ∠A = ∠A₁, AD = A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.

171. В треугольниках АВС и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ∠OAC = ∠OCA. Докажите, что треугольники АВО и С DO равны.

172. На рисунке 96 AC = AD, AB ⊥ CD. Докажите, что BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.

173.* Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.

174.* Докажите, что АВС = А₁В₁С₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ВС = В₁С₁.

175.* На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА = ОВ, AC = BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

176.* Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, если АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, AM = А₁М₁, где AM и А₁М₁ — медианы треугольников.

177.* Даны два треугольника: АВС и А₁В₁С₁. Известно, что АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А₁С₁ и В₁С₁ треугольника А₁В₁С₁ — точки К₁ и L₁ так, что АК = А₁К₁, LC = L₁C₁. Докажите, что: a) KL = K₁L₁; б) AL = A₁L₁.

178.* Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

179.* На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что ∠PXB = ∠QXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = CP.

180. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

181. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

182. Даны прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и AC = PQ.

183. Даны окружность, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и AC = PQ.

184. На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равноудалённую от вершин А и С.

185. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.

<<< К началу          Ответы >>>