Аксиома параллельных прямых (окончание)

Итак, в качестве ещё одного из исходных положений мы принимаем аксиому параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Например, утверждения 1 и 2 (см. с. 35) являются следствиями из теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

1⁰. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М (рис. 111, а). Докажем, что прямая с пересекает и прямую b. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b (рис. 111, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.

рис. 111

2⁰. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Действительно, пусть прямые а и Ь параллельны прямой с (рис. 112, а). Докажем, что а || b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке М (рис. 112,6). Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b), параллельные прямой с.

рис. 112

Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а значит, прямые а и b параллельны.

<<< К началу