Задачи к § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат

399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

400. Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

401. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.

403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если ∠CAD = 30°, АС = 12 см.

404. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

406. Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, АС= 10,5 см.

407. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.

408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

409. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

410. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС = 12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

413. Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

414. Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.

415. Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

416. О Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?

418. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е О, F?

419. Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

420. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

421. Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

422. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

423. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К?

Ответы к задачам § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат

401. а) 198,1см или 122,6 см; б) 23,4 дм или 19,8 дм.

403. 18 см.

404. Указание. Пусть ВМ — медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АС. Рассмотреть четырёхугольник ABCD, где D — точка, симметричная точке В относительно точки М.

405. а) 60° и 120°; б) 30° и 60°.

406. 42 см. 407. 22°30' и 67°30'.

410. а) Нет; б) нет; в) да.

412. 24 см.

417. а) Две; б) бесконечное множество: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; в) одну.

418. А, Е, О.

422. а) Да; б) нет; в) да; г) да.

423. О и X.