Площадь квадрата

Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а².

Начнём с того случая, когда где n — целое число. Возьмём квадрат со стороной 1 и разобьём его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке 180, а (на этом рисунке n = 5). Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна Сторона каждого маленького квадрата равна равна а. Итак,

Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую п знаков после запятой (в частности, число а может быть целым, и тогда n = 0). Тогда число m + а • 10ⁿ Целое. Разобьём данный квадрат со стороной а на m² равных квадратов так, как показано на рисунке 180, б (на этом рисунке m = 7).

рис. 180

При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна Следовательно, площадь S данного квадрата равна

Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число ап, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число а отличается от а_n не более чем на то откуда

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной а_n и площадью квадрата со стороной (рис. 180, в), т. е. между

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число будет сколь угодно мало отличаться от числа Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а². Следовательно, эти числа равны: S = a², что и требовалось доказать.