Числовые неравенства

724. а) а - b = -0,001; a < b; б) a - b = 0; а = b; в) a - b = 4,3; a > b.

725. a < b ⇒ а - b < 0 ⇒ разность а - b может выражаться только числом —5.

726. 3a (a + 6) = 3a² + 18a; (3a + 6) (a + 4) = 3a² + 12a + 6a + 24 = 3a² + 18a + 24; При а = -5; 3 (a + 6) = -15; (3a + 6) (a + 4) = -9 • (-1) = 9 ⇒ 3a(a + 6) < (3a + 6) (a + 4); При а = 0; 3a (a + 6) = 0; (3a + 6) (a + 4) = 6 • 4 = 24 ⇒ 3a (a + 6) < (3a + 6)(a + 4); При a = 40; 3a(a + 6) = 120 • 46 = 5520; (3a + 6) (a + 4) = 126 • 44 = 5544 ⇒ 3a (a + 6) < (3a + 6) (a + 4); 3a (a + 6) = 3a² + 18a; (3a + 6) (a + 4) = 3a² + 12a + 6a + 24 = 3a² + 18a + 24 ⇒ 3a (a + 6) - (3a + 6) (a + 4) = a² + 18a - (3a² + 18a + 24) = -24 ⇒ 3a (a + 6) < (3a + 6) (a + 4).

727. 4b(b + 1) = 4b² + 4b; (2b + 7) (2b - 8) = 4b² - 16b + 14b - 56 = 4b² - 2b - 56; 4b(b + 1) - (2b + 7) (2b - 8) = 4b² + 4b - 4b² + 2b + 56 = 6b + 56; При b = -3; 6b + 56 = -18 + 56 = 38 > 0 ⇒ 4b(b + 1) > (2b + 7)(2b - 8); При b = -2; 6b + 56 = -12 + 56 = 44 > 0 ⇒ 4b (b + 1) > (2b + 7)(2b - 8); При b = 10; 6b + 56 = 60 + 56 = 116 > 0 ⇒ 4b (b + 1) > (2b + 7)(2b - 8); Но при b = -10; 6b + 56 = -60 + 56 = -4 ⇒ 4b(b + 1) < (2b + 7)(2b - 8); Значит, нельзя утверждать, что первое выражение всегда больше второго.

728. а) 4(2 + а) - 3 (a + 1) - a = 8 + 4a - 3a - 3 - a = 5 > 0 ⇒ 3(a + 1) + a < 4(2 + a);

6) 49p² - (7p - 1) (7p + 1) = 49p² - 49p² + 1 = 1 ⇒ (7p - 1) (7p + 1) < 49p²;

в) (a - 2)² - a (a - 4) = a² - 4a + 4 - a² + 4a = 4 ⇒ (a - 2)² > a (a - 4);

г) (2a + 3) (2a + 1) - 4a(a + 2) = 4a- + 2a + 6a + 3 - 4a² - 8a = 3 ⇒ (2a + 3) (2a + 1) > 4a(a + 2).

729. a) 2b² - 6b + 1 - 2b(b - 3) = 2b² - 6b + 1 - 2b² + 6b = 1 ⇒ 2b² - 6b + 1 > 2b(b - 3);

б) (c + 2)(c + 6) - (c + 3)(c + 5) = c² + 6c + 2c + 12 - c² - 5c - 3c - 15 = -3 ⇒ (c + 2) (c + 6) < (c + 3)(c + 5);

в) p(p + 7) - (7p - 1) = p² + 7p - 7p + 1 = p² + 1 > 0 ⇒ p(p + 7) > 7p - 1;

г) (5y - 8)² - 8y (3y - 10) = 25y² - 80y + 64 - 24y² + 80y = y² + 64 > 0; 8y(3y - 10) < (5y - 8)².

730. a) 4x (x + 0,25) > (2x + 3) (2x - 3); 4x (x + 0,25) - (2x + 3) (2x - 3) = 4x² + x - 4x² + 9 = x + 9; при x > -9 верно, но при х ≤ -9 не верно, значит неравенство верно не для всех х;

б) (5х - 1) (5х + 1) < 25x² + 2; (5х - 1) (5х + 1) - (25x² + 2) = 25х² - 1 - 25x² - 2 = -3 < 0; верно для любого х;

в) (3x + 8)² > 3х (х + 16); (3х + 8)² - 3х (х + 16) = 9x² + 48x + 64 - 3х² - 48х = 6x² + 64 > 0; верно для любого х;

г) (7 + 2х) (7 - 2х) < 49 - х (4х + 1); (7 + 2х) (7 - 2х) - (49 - х (4x + 1)) = 49 - 4x² - (49 - 4x² - х) - 49 - 4х² - 49 + 4х² + х = х, при х < 0 верно, но при х ≥ 0 не верно, значит неравенство верно не для всех х.

731. а) а(а + b) - аb = а² + аb - аb = а² ≥ 0 ⇒ а (а + b) ≥ аb;

б) m² - mn + n² - mn = m² + n² ≥ 0 ⇒ m² - mn + n² ≥ mn;

в) 10а² - 5а + 1 - (а² + а) = 10а² - 5а + 1 - а² - а = 9а² - 6а + 1 = (3а - 1)² ≥ 0 ⇒ 10а² - 5а + 1 ≥ а² + а;

г) b² + с² - 2bс = (b - с)2 ≥ 0 ⇒ 2bс ≤ b² + с²;

д) а(а - b) - b(а - b) = a² - ab - ab + b² = (а - b)² ≥ 0 ⇒ а (а - b) ≥ 6(а - b);

е) 50а² - 15а + 1 - (а² - а) = 49а² - 14а +1 = (7а - 1)2 ⇒ а² - а ≤ 50а² - 15а + 1.

Окончание >>>