Операции над множествами

Над множествами, как и над числами, производят некоторые операции.

Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов.

Пересечение множеств обозначают с помощью знака ∩ : X ∩ Y.

На рисунке 4.2 закрашено множество Х ∩ Y.

Пусть множества X и Y состоят из букв:

X = {ш, к, о, л, а};
Y = {у, р, о, к}.

Эти множества имеют общие элементы: к, о.

X ∩ Y = {к, о}.

Множества М и X не имеют общих элементов, их пересечение — пустое множество:

М ∩ Х = ∅.

Пересечение множеств М и Р есть множество Р, а пересечение множеств М и М есть множество М:

М ∩ Р = Р;
М ∩ М = М.

Объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.

Объединение множеств обозначают с помощью знака ∪: X ∪ Y.

На рисунке 4.3 закрашено множество X ∪ Y.

Графическое изображение множества

Для наших примеров:

X ∪ Y = {ш, к, о, л, а, у, р};
М ∪ X = {1, 3, 5, 7, 9, ш, к, о, л, а};
М ∪ Р = М; М ∪ М = М.

Подумайте, возможно ли равенство: А ∪ В = А ∩ В.

Пересечение и объединение выполняются для любой пары множеств. Третья операция — дополнение — имеет смысл не для всех множеств, а только тогда, когда второе множество является подмножеством первого.

Пусть множество Р является подмножеством множества М. Дополнением Р до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в Р.

Дополнение Р до М обозначают

Дополнение М до М есть пустое множество, дополнение пустого множества до М есть М:

Особый интерес представляет дополнение некоторого множества В до универсального множества U. Например, если В — это множество точек, принадлежащих некоторому отрезку, то его дополнением В до универсального множества U, которым в данном случае является множество всех точек числовой прямой, является множество точек, не принадлежащих данному отрезку.

В общем случае можем записать: (рис. 4.4)

Окончание >>>