10. Приведение дробей к общему знаменателю

Умножим числитель и знаменатель дроби на одно и то же число 2. Получим равную ей дробь Говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю 8. Дробь можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателю данной дроби.

Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем. При приведении дроби к новому знаменателю её числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

Пример 1. Приведём дробь к знаменателю 35.

Решение. Число 35 кратно 7, так как 35 : 7 = 5. Дополнительным множителем является число 5. Умножим числитель и знаменатель данной дроби на 5, получим

Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или, иначе, к общему знаменателю.

Например,

Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей (например, произведение знаменателей).

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Пример 2. Приведём к наименьшему общему знаменателю дроби

Решение. Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является 12.

Чтобы привести дробь к знаменателю 12, надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 ( 1 2 : 4 = 3). Получим

Чтобы привести дробь к знаменателю 12, надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 ( 1 2 : 6 = 2). Получим

Итак,

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

В сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

Пример 3. Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю.

Решение. Разложим знаменатели данных дробей на простые множители: 60 = 2 • 2 • 3 • 5; 168 = 2 • 2 • 2 • 3 • 7. Найдём наименьший общий знаменатель: 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 840.

Дополнительным множителем для дроби является произведение 2 • 7, т. е. тех множителей, которые надо добавить к разложению числа 60, чтобы получить разложение общего знаменателя 840. Поэтому

Для дроби таким же способом находим дополнительный множитель 5. Значит,

Итак,

Продолжение >>>