7. Наименьшее общее кратное

Задача. Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов?

Решение. Число сантиметров пути должно делиться без остатка и на 75, и на 60, т. е. оно должно быть кратным и 75, и 60.

Выпишем числа, кратные 75. Получим:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, 750

Затем выпишем числа, кратные 60. Получим:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660

Общими кратными чисел 75 и 60 будут числа 300, 600,... .

Наименьшим из них является 300. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Значит, наименьшим расстоянием, на котором Володя и Катя сделают целое число шагов, будет 300 см. При этом Володя сделает 4 шага (300 : 75 = 4), а Катя — 5 шагов (300 : 60 = 5).

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b.

Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 • 5 • 5, а 60 = 2 • 2 • 3 • 5.

Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа.

Получаем пять множителей 2 • 2 • 3 • 5 • 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно изданных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Какое число называют наименьшим общим кратным натуральных чисел а иb?
Как найти наименьшее общее кратное нескольких чисел?
Какое число является наименьшим общим кратным чисел m и n, если число m кратно числу n?

179. Найдите разложение на простые множители наименьшего общего кратного чисел а и b, если:

а) a = 3 • 5, b = 7 • 5;
б) а = 2 • 2 • 3 • 3 • 5, b = 2 • 2 • 3 • 7.

180. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и b, если:

а) а = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 и b = 2 • 3 • 3 • 3 • 5;
б) а = 3 • 3 • 7 • 7 и b = 2 • 3 • 3 • 5 • 7 • 7;
в ) а = 2 • 2 • 5 • 5 • 11 и b = 2 • 2 • 3 • 5 • 11 ;
г) а = 2 • 5 • 5 • 7 и b = 2 • 2 • 5 • 5 • 7.

181. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 6 и 8; в) 72 и 99; д) 34, 51 и 68;
б) 12 и 16; г) 396 и 180; е) 168, 231 и 60.

182. Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми? Найдите наименьшее общее кратное чисел 54 и 65. Равно ли оно произведению 54 и 65? Запишите какие-нибудь два взаимно простых числа. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Сделайте вывод.

183. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 45 и 135; б) 34 и 170.

Равно ли оно одному из данных чисел?

Продолжение >>>