Закон Био—Савара—Лапласа

Векторное произведение

Закон Био—Савара—Лапласа можно записать в векторной форме, используя понятие векторного произведения двух векторов. Это понятие у нас еще не встречалось. В физике многие величины выражаются через векторные произведения. Векторное произведение используется не менее часто, чем скалярное, о котором шла речь в «Механике» (см. § 6.2). Для обозначения векторного произведения двух векторов применяется косой крест: Если в результате скалярного произведения двух векторов получается скаляр, то результатом векторного произведения векторов является вектор (отсюда и его название). Определяется векторное произведение так.

Модуль с векторного произведения векторов равен произведению их модулей на синус угла α между ними (рис. 4.35):

Направление векторного произведения задается правилом правого буравчика (или винта). Если рукоятку буравчика поворачивать на наименьший угол от вектора стоящего первым в векторном произведении, к вектору то вектор направлен в сторону поступательного перемещения буравчика. Таким образом, вектор с перпендикулярен плоскости, содержащей векторы

Конечно, нужно еще доказать, что направленный отрезок является вектором, т. е. для векторного произведения выполняется геометрическое правило сложения векторов. Но мы это делать не будем. Не будем также приводить выражения для проекций векторного произведения на оси координат. Эти выражения довольно сложны, и в дальнейшем мы не будем их использовать.

Отметим лишь, что векторное произведение некоммутативно:

Это следует из определения направления векторного произведения.

Закон Био—Савара—Лапласа в векторной форме

Используя понятие векторного произведения, закон Био— Савара—Лапласа можно записать в векторной форме. В этом случае сразу будет определен и модуль вектора магнитной индукции Δ и его направление:

Модуль магнитной индукции

как это и должно быть согласно закону (4.5.1). Направление Δ также определено правильно.

Магнитная индукция прямого тока

Магнитная индукция

Для вычисления магнитной индукции бесконечно длинного прямого провода в произвольной точке А, находящейся на расстоянии d от провода, нужно просуммировать векторы Δ_i магнитных индукций, создаваемых отдельными элементами тока _i (рис. 4.36). Суммирование упрощается благодаря тому, что векторы Δ_i от отдельных элементов тока направлены в одну сторону — перпендикулярно рисунку от нас. Тем не менее вычисления требуют умения находить сумму бесконечно большого числа бесконечно малых членов. Этот способ вычисления называется интегрированием. Мы приведем конечный результат:

Формула (4.5.5) дает правильное значение магнитной индукции и для прямого провода конечной длины. Необходимо только, чтобы расстояние d было много меньше длины провода и точка, в которой определяется индукция поля, находилась на большом расстоянии от концов провода.

Установлен закон Био—Савара—Лапласа, определяющий магнитную индукцию элемента тока.

<<< К началу параграфа