Примеры решения задач на тему: Твердые тела и их превращение в жидкости

При решении большинства задач на материал § 8.9 используется уравнение теплового баланса с включаемой в него теплотой плавления Q_пл = λm или теплотой кристаллизации Q_kp = -λm.

Решение ряда задач требует знания кристаллической структуры вещества.

Задача 1

Кубическая ячейка поваренной соли

Кристаллы поваренной соли состоят из чередующихся ионов натрия и хлора, причем ячейка кристалла имеет форму куба (рис. 8.36). Определите средние расстояния между центрами ионов в ячейке. Молярная масса поваренной соли 0,058 кг/моль, а ее плотность 2200 кг/м³.

Решение. Кубическая ячейка поваренной соли NaCl состоит из четырех ионов Na и четырех ионов Сl, находящихся в ее вершинах. Каждый ион (Na или Сl) входит в состав восьми ячеек. Поэтому в кристалле NaCl число кубических ячеек равно суммарному числу ионов Na и Сl. Следовательно, в одном моле поваренной соли содержится 2N_A ячеек, где N_A— постоянная Авогадро.

Обозначим искомое расстояние между ионами Na и Сl в ячейке буквой l, тогда объем ячейки будет равен l³. Объем одного моля (молярный объем) поваренной соли равен

V_M = l³ • 2N_A. (8.10.1)

С другой стороны, молярный объем поваренной соли можно найти, разделив молярную массу на плотность:

молярный объем

Из выражений (8.10.1) и (8.10.2) получаем

Задача 2

В массивный алюминиевый сосуд, нагретый до температуры t₁ = 75 °С, положили лед массой m₂ = 0,4 кг при температуре t₂ = 0 °С. После установления теплового равновесия температура сосуда с его содержимым оказалась равной t = = 50 °С. Какова масса m₁ сосуда? Удельные теплоемкоёти алюминия и воды соответственно равны с₁ = 770 Дж/(кг • К) и с₂ = 4200 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда λ = 3,35 • 10⁵ Дж/кг. Испарением воды и потерями тепла пренебречь.

Решение. Количество теплоты, отданное остывающим сосудом,

Q₁ = c₁m₁(t - t₁)

отрицательно, так как t < t₁.

На плавление льда пошло количество теплоты

Q₂ = λm₂,

а на нагревание образовавшейся воды от 0 °С до температуры t — количество теплоты

Q₃ = с₂m₂(t - t₂),

Уравнение теплового баланса записывается в виде

Q₁ + Q₂ + Q₃ = О,

или

c₁m₁(t - t₁) + λт2 + c₂m₂(t - t₂) = 0.

Откуда находим

Задача 3

В калориметре находится вода массой m₁ = 400 г при температуре t₁ = 5 °С. К ней долили еще 200 г (m₂) воды при температуре t₂ = 10 °С и положили лед массой m₃ = 400 г при температуре t₃ = -60 °С. Какая температура t установится в калориметре? Удельные теплоемкости льда и воды соответственно равны с_л = 2,1 • 10³ Дж/(кг • К) и с_в = 4,2 • 10³ Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда λ = 3,35 • 10⁵ Дж/кг.

Решение. В этой и подобных ей задачах не следует торопиться составлять уравнение теплового баланса. Надо сначала выяснить, расплавится ли весь лед. Количество теплоты, которое выделяется водой при охлаждении до t₀ = 0 °С, равно

Q₁ = c_вm₁(t₁ - t₀) + с_вm₂(t₂ - t₀) = 16 800 Дж.

Для нагревания льда до 0 °С требуется

Q₂ = c₂m₂(t₀ - t₃) = 50 400 Дж.

Следовательно, лед может нагреваться до температуры плавления только за счет энергии, выделяющейся при замерзании воды. Для выделения недостающего количества теплоты Q₃ = 33 600 Дж должна замерзнуть вода массой

В результате в калориметре образуется смесь из 500 г воды и 500 г льда, находящихся при температуре 0 °С.

Задача 4

С какой скоростью должна лететь свинцовая пуля, чтобы, ударившись о преграду, расплавиться, если до удара температура пули была t = 127 °С? При ударе на нагревание пули затрачивается η = 80% энергии пули (остальная энергия рассеивается в окружающее пространство). Удельная теплоемкость свинца с = 120 Дж/(кг • К), температура плавления свинца t_пл = 327 °С. Удельная теплота плавления λ = 2,5 • 10⁴ Дж/кг.

Решение. Кинетическая энергия летящей пули где m — масса пули, υ — ее скорость. На нагревание и плавление пули затрачивается энергия

С другой стороны, на нагревание и плавление пули должно быть затрачено количество теплоты, равное

Q = cm(t_пл - t) + λm.

Следовательно, согласно закону сохранения энергии