§ 9.5. Примеры решения задач на тему: Тепловое расширение твердых и жидких тел

Задача 1

Диаметр стеклянной пробки, застрявшей в горлышке флакона, d₀ = 2,5 см. Чтобы вынуть пробку, горлышко нагрели до температуры t₁ = 150 °С. Сама пробка успела при этом нагреться до температуры t₂ = 50 °С. Как велик образовавшийся зазор? Температурный коэффициент линейного расширения стекла α₁ = 9 • 10^-6К^-1.

Решение. Обозначим начальную температуру стеклянного флакона и застрявшей в нем пробки через t0. Тогда после нагревания диаметр горлышка флакона будет

d₁ = d₀[1 + α₁(t₁ — t₀)],

а диаметр пробки

d₂ = d₀[1 + α₁(t₂ — t₀)],

Образовавшийся зазор между пробкой и горлышком составит

Подставляя числовые значения величин, найдем

l = 0,01 мм.

Задача 2

Объем некоторой массы спирта при нагревании увеличился на ΔV = 5,5 см³. Начальная плотность спирта ρ₀ = 800 кг/м³, температурный коэффициент объемного расширения спирта α = 1,1 • 10^-3К^-1. Удельная теплоемкость спирта с = 2,4 х 10³ Дж/(кг • К). Какое количество теплоты сообщено спирту?

Решение. Первоначальный объем спирта V₀. После нагревания он стал равен V = V₀(1 + αΔt). Изменение объема спирта

ΔV = V - V₀ = V₀αΔt. (9.5.1)

Количество теплоты, сообщенное спирту при нагревании,

Q = cmΔt, (9.5.2)

где m = p₀V₀ — масса спирта.

Разделив почленно выражения (9.5.1) и (9.5.2), получим

Задача 3

Как велика сила F, которую нужно приложить к медной проволоке с площадью поперечного сечения S = 10 мм², чтобы растянуть ее на столько же, на сколько она удлиняется при нагревании на Δt = 20 К? Коэффициент линейного расширения меди α₁ = 1,7 • 10^-5К^-1, модуль Юнга Е = 1,2 • 10¹¹ Па.

Решение. Согласно закону Гука σ = Еε или где F^y — сила упругости, возникающая в проволоке при ее относительном удлинении а. Е — модуль упругости (модуль Юнга) меди. Приложенная к проволоке сила равна по модулю силе упругости, поэтому

Согласно условию задачи проволока должна получить такое же удлинение при нагревании на Δt:

Δl = l⁰α¹Δt (9.5.4)

Подставив в уравнение (9.5.3) выражение (9.5.4) для Δl, получим выражение для силы:

F = ESα¹Δt = 410 Н.

Задача 4

Определите длины железной и медной линеек при температуре t⁰ = 0 °С, если разности их длин при температурах t¹ = 50 °С и t² = 450 °С одинаковы по модулю и равны l = 2 см. Коэффициенты линейного расширения железа и меди соответственно равны а и

Решение. Разность длин линеек при температуре t¹ равна

При температуре t² эта разность равна

Знак плюс соответствует случаю, когда разность длин линеек остается неизменной (рис. 9.11, а). Знаку минус соответствует случай, когда при температурах t¹ и t² разности длин линеек одинаковы по модулю, но противоположны по знаку (рис. 9.11, б).

В первом случае система уравнений приводит к следующим результатам:

Во втором случае результаты получаются такими:

В обоих случаях при t₀ = 0 °С длина железной линейки должна быть больше медной.

Задача 5

При температуре t₀ = 0 °С стеклянный баллон вмещает m₀ = 100 г ртути. При температуре t₁ = 20 °С баллон вмещает m₁ = 99,7 г ртути. В обоих случаях температура ртути равна температуре баллона. Найдите по этим данным температурный коэффициент линейного расширения стекла α₁, учитывая, что коэффициент объемного расширения ртути α = 1,8 • 10^-4К^-1.

Решение. Если вместимость баллона при 0 °С обозначить через V₀, то при температуре t₁ она будет равна

V₁ = V₀(l + 3α₁t_{1). (9.5.5)}

Обозначим через ρ₀ и ρ₁ плотности ртути при температурах t₀ и t₁. Тогда массы ртути при начальной и конечной температурах будут равны m₀ = ρ₀V₀ и m₁ = ρ₁V₁, причем согласно формуле (9.3.7)

Из выражения (9.5.5) находим

Подставляя в уравнение (9.5.6) значения V₀ и V₁, окончательно получим