Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела

§ 15. Равномерное движение точки по окружности

Изменяется ли скорость точки при её равномерном движении по окружности?

Может ли материальная точка двигаться по криволинейной траектории без ускорения?

Рассмотрим равномерное движение точки по окружности. Очевидно, что в этом случае скорость и ускорение не изменяются по модулю, а изменяются лишь по направлению.

Движение тела по окружности или дуге окружности довольно часто встречается в природе и технике. Приблизительно по окружности движется Луна вокруг Земли; каждая точка земной поверхности движется по окружности вокруг земной оси; дуги окружности описывают различные точки самолёта во время виража, автомобиля при повороте, поезда на закруглении дороги и т. д.

Приведите примеры движения тел по окружности, которые вы наблюдаете в повседневной жизни.

Найдём модуль и направление вектора ускорения при равномерном движении точки по окружности радиусом R. Пусть точка в момент времени t занимает положение М, а через интервал времени Δt — положение М₁ (рис. 1.57). Обозначим её скорость в положении М через , а в положении М₁ через ₁. При равномерном движении υ = υ₁. Чтобы найти изменение скорости Δ за время Δt, надо из вектора ₁ вычесть вектор . Разделив вектор Δ на промежуток времени Δt, получим среднее ускорение точки за этот промежуток времени:

среднее ускорение точки за промежуток времени

Сначала найдём модуль мгновенного ускорения. Для этого проведём вектор перемещения Δ и рассмотрим треугольники ОММ₁ и М₁АВ. Эти треугольники подобны как равнобедренные с равными углами при вершинах (углы между двумя взаимно перпендикулярными сторонами). Следовательно,

Разделив левую и правую части этого равенства на промежуток времени Δt, получим

или

Но

Обсудите с товарищем, как изменится среднее ускорение, если рассматривать такие случаи: 1) точка прошла четверть оборота; 2) точка прошла пол-оборота; 3) точка сделала полный оборот.

В пределе, т. е. при стремлении промежутка времени Δt к нулю, модуль вектора будет модулем ускорения || точки в момент времени t, а модуль вектора будет представлять собой модуль вектора мгновенной скорости ||. Тогда равенство (1.24) примет вид

Так как υ и R постоянны, то модуль вектора ускорения при равномерном движении точки по окружности остаётся всё время неизменным.

Найдём теперь направление ускорения . Вектор ускорения направлен так, как направлен вектор Δ в пределе при стремлении промежутка времени Δt к нулю. Из рисунка 1.57 видно, что при стремлении интервала Δt к нулю точка М₁ приближается к точке М и угол φ стремится к нулю. Следовательно, угол ВМ₁А стремится к 90°. Таким образом, угол между вектором Δ и радиусом окружности стремится к нулю. Следовательно, в пределе вектор мгновенного ускорения направлен к центру окружности. Поэтому ускорение точки при её равномерном движении по окружности называют центростремительным.

Важно
В процессе движения точки по окружности ускорение всё время направлено по радиусу к центру, т. е. непрерывно изменяется по направлению. Следовательно, равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением и переменной скоростью. Отметим, что модули скорости и ускорения при этом остаются постоянными.

Как вы думаете, с одинаковыми ли по модулю скоростями и ускорениями движутся все точки кабинки колеса обозрения?

Понаблюдайте за колебаниями шарика на нити. Изменяется ли цен- тростремительное ускорение шарика при его движении?

Иногда центростремительное ускорение называют нормальным ускорением. Это название связано с тем, что центростремительное ускорение направлено по нормали к скорости тела.

Ключевые слова для поиска информации по теме параграфа.
Криволинейное движение. Центростремительное ускорение

Вопросы к параграфу

1. Точка движется равномерно по окружности. Постоянна ли её скорость?

2. Постоянно ли ускорение при равномерном движении точки по окружности?

3. Куда направлено ускорение конца стрелки часов? Будет ли ускорение перпендикулярно мгновенной скорости?

3. Какое ускорение всегда перпендикулярно мгновенной скорости?