Механическая работа и мощность

4. Работу силы можно вычислить, используя график зависимости силы от перемещения.

Предположим, под действием постоянной силы тяжести тело совершает перемещение. Графиком зависимости модуля силы тяжести F_тяж от модуля перемещения тела s является прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 67). Найдём площадь выделенного прямоугольника. Она равна произведению двух его сторон: S = F_тяжh = = mgh. С другой стороны, этой же величине равна работа силы тяжести А = mgh.

Рис. 67

Таким образом, работа численно равна площади прямоугольника, ограниченного графиком, координатными осями и перпендикуляром, восставленным к оси абсцисс в точке h.

Рассмотрим теперь случай, когда сила, действующая на тело, прямо пропорциональна перемещению. Такой силой, как известно, является сила упругости. Её модуль равен F_ynp = kx, где х — удлинение тела.

Предположим, пружину, левый конец которой закреплён, сжали (рис. 68, а). При этом её правый конец сместился на x₁. В пружине возникла сила упругости F_ynp1, направленная вправо.

Рис. 68

Если теперь предоставить пружину самой себе, то её свободный конец переместится вправо (рис. 68, б), удлинение пружины будет равно х₂, а сила упругости F_ynp2.

Вычислим работу силы упругости при перемещении конца пружины из точки с координатой х₁ в точку с координатой х₂.

Используем для этого график зависимости F_ynp(х) (рис. 69).

Рис. 69

Работа силы упругости численно равна площади трапеции ABCD. Площадь трапеции равна произведению полусуммы основании и высоты, т. е. В трапеции ABCD основания АВ = F_ynp2 = kx₂, CD = F_ynp1 = kx₁, а высота AD = x₁ — x₂. Подставим в формулу площади трапеции эти величины:

формулу площади трапеции

Таким образом, мы получили, что работа силы упругости равна:

силы упругости

5*. Предположим, что тело массой т перемещается из точки А в точку В (рис. 70), двигаясь сначала без трения по наклонной плоскости из точки А в точку С, а затем без трения по горизонтальной плоскости из точки С в точку В. Работа силы тяжести на участке СВ равна нулю, поскольку сила тяжести перпендикулярна перемещению. При движении по наклонной плоскости работа силы тяжести равна: А_АС = F_тяжlsin α.

Рис. 70

Так как lsin α = h, то А_АС = F_тяжh = mgh.

Работа силы тяжести при движении тела по траектории АСВ равна А_АСВ = А_АС + А_СВ = mgh + 0.

Таким образом, А_АСВ = mgh.

Работа силы тяжести при перемещении тела из точки А в точку В по траектории АВ равна: А_АВ = mgh.

Полученный результат показывает, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории. Она зависит только от начального и конечного положений тела.

Предположим теперь, что тело движется по замкнутой траектории АВСА (см. рис. 70). При перемещении тела из точки А в точку В по траектории АСВ работа силы тяжести равна А_АСВ = mgh. При перемещении тела из точки В в точку А сила тяжести совершает отрицательную работу, которая равна А_ВА = -mgh. Тогда работа силы тяжести на замкнутой траектории А = А_АСВ + А_ВА = 0.

Нулю равна и работа силы упругости на замкнутой траектории. Действительно, предположим, что недеформированную вначале пружину растянули и её длина увеличилась на х. Сила упругости при этом совершила работу При возвращении в состояние равновесия сила упругости совершает работу Суммарная работа силы упругости при растяжении пружины и её возвращении в недеформированное состояние равна нулю.

<<< К началу Окончание >>>