Вынесение общего множителя за скобки

При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением многочлена на множители.

Рассмотрим многочлен 6а²b + 15b². Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3b:

6а²b + 15b² = 3b • 2а² + 3b • 5b.

Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель 35, а другой — сумма 2аПолученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель 3b, а другой — сумма 2а² и 5b:

3b • 2а² + 3b • 5b = 3b (2а² + 5b).

Итак,

6а²b + 15b² = 3b (2а² + 5b).

Мы разложили многочлен на множители, представив его в виде произведения одночлена 35 и многочлена 2а² + 5b. Применённый способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки.

Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложим на множители многочлен

-15х²у³ - 30х³у² + 45х⁴у.

Члены этого многочлена имеют различные общие множители: х, y, 3xy, -5х² и др. Обычно в многочлене с целыми коэффициентами множитель, выносимый за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, оставшегося в скобках, не содержали общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих натуральных делителей, кроме 1.

В многочлене -15х²у³ - 30х³у² + 45x⁴y модули коэффициентов — числа 15, 30 и 45. Их наибольший общий делитель равен 15. Поэтому в качестве коэффициента общего множителя можно взять число 15 или -15. Все члены многочлена содержат переменные х и у. Переменная х входит в них во второй, третьей и четвёртой степенях, поэтому за скобки можно вынести х². Переменная у содержится в членах многочлена в третьей, второй и первой степенях, поэтому за скобки можно вынести у. Итак, за скобки целесообразно вынести одночлен 15х²у или -15х²у. Вынесем, например, за скобки -15х²у. Получим

-15²y³ - 30х³у² + 45х⁴у = -15х²у(у² + 2ху - 3х²).

Пример 2. Разложим на множители выражение

3а²(b - 2с) + 7(b - 2с).

В этой сумме каждое слагаемое содержит множитель b - 2с. Вынесем этот множитель за скобки:

3а²(b - 2с) + 7(b - 2с) = (b - 2с)(3а² + 7).

Пример 3. Представим в виде произведения сумму

а(х - у) + b(у - х).

Множители х - у и у - х отличаются друг от друга лишь знаком. Вынесем в выражении у - х за скобки -1, получим

а(х -у) + b(у - х) = а(х - у) + b(-1)(х - у) = а(х - у) - b(х - у) = (х - у)(а - b).

Запись можно вести короче:

а(х - у) + b(у - х) = а(х - у) - b(х -у) = (х - у)(а - b).

Заметим, что преобразование b(у - х) = -b(х - у) можно объяснить иначе: если изменить знак у второго множителя и перед произведением, то значение выражения не изменится.

Продолжение >>>