Применение различных способов для разложения на множители

Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Иногда удаётся разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. При этом начинать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложим на множители многочлен 10а³ - 40а.

Члены этого многочлена имеют общий множитель 10а. Вынесем этот множитель за скобки:

10а³ - 40а = 10а (а² - 4).

Разложение на множители можно продолжить, применив к выражению а² - 4 формулу разности квадратов. В результате получим в качестве множителей многочлены более низких степеней.

Имеем

10а(а² - 4) = 10а(а + 2)(а - 2).

Значит,

10а³ - 40а = 10а (а + 2) (а - 2).

Пример 2. Разложим на множители многочлен

ab³ - 3b³ + аb²у - 3b²у.

Сначала вынесем за скобки общий множитель b²:

ab³ - 3b³ + ab²y - 3b²у = b²(ab - 3b + ау - 3у).

Попытаемся теперь разложить на множители многочлен

ab - 3b + ау - 3у.

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, будем иметь

ab - 3b + ау - 3у = b(а - 3) + у(а - 3) = (а - 3)(b + у).

Окончательно получим

аb³ - 3b² + аb²у - 3b²у = b²(a - 3)(b + у).

Пример 3. Разложим на множители многочлен а² - 4ах - 9 + 4х².

Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Получим трёхчлен а² - 4ах + 4х², который можно представить в виде квадрата разности. Поэтому

а² - 4ах - 9 + 4х² = (а² - 4ах + 4х²) - 9 = (а - 2х)2²- 9.

Полученное выражение можно разложить на множители но формуле разности квадратов:

(а - 2х)² - 9 = (а - 2х)² - 3² = (а - 2х - 3)(а - 2х + 3).

Следовательно,

а² - 4ах - 9 + 4х² = (а - 2х - 3)(а - 2х + 3).

Заметим, что при разложении многочлена на множители имеют в виду представление его в виде произведения нескольких многочленов, в котором хотя бы два множителя являются многочленами ненулевой степени (т. е. не являются числами).

Не каждый многочлен можно разложить на множители. Например, нельзя разложить на множители многочлены х² + 1, 4x² - 2х + 1 и т. п.

Рассмотрим пример использования разложения на множители для упрощения вычислений с помощью калькулятора.

Пример 4. Найдём с помощью калькулятора значение многочлена 5x³ + 2х² - 7х + 4 при x = 1,2.

Если выполнять действия в принятом порядке, то сначала придётся найти значения выражений х³ • 5, x² • 2 и 7х, записать результаты на бумаге или ввести их в память калькулятора, а затем перейти к действиям сложения и вычитания. Однако искомый результат молено получить гораздо проще, если преобразовать данный многочлен следующим образом:

5x³ + 2х² - 7х + 4 = (5х² + 2х - 7)х + 4 = ((5x + 2)х - 7)х + 4.

Выполнив вычисления для х = 1,2, найдём, что значение многочлена равно 7,12.

Продолжение >>>