|
|
|
Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела
§ 10. Движение с постоянным ускорениемКакая величина, характеризующая движение точки, не зависит от выбора системы отсчёта? Может ли в одной системе отсчёта точка покоиться, а в другой двигаться? Выясним зависимость скорости точки от времени при её движении с постоянным ускорением. Для этого воспользуемся формулой
Пусть
Если начальный момент времени t0 принять равным нулю, то получим
Отсюда получим формулу для определения скорости точки в любой момент времени при её движении с постоянным ускорением:
Векторному уравнению (1.11) соответствуют в случае движения на плоскости два скалярных уравнения для проекций скорости на координатные оси X и Y:
Как видим, при движении с постоянным ускорением скорость со временем меняется по линейному закону. Итак, для определения скорости в произвольный момент времени надо знать начальную скорость Ускорение же, наоборот, не зависит от того, что происходило с телом в предыдущие моменты, а зависит лишь от действия на него других тел в данный момент времени.
Зависимость проекции скорости от времени можно изобразить наглядно с помощью графика. Если начальная скорость равна нулю, то график зависимости проекции скорости на ось X от времени имеет вид прямой, выходящей из начала координат. Такая зависимость скорости от времени наблюдается при падении тела, покоившегося в начальный момент времени, с некоторой высоты или при движении автомобиля, трогающегося с места. На рисунке 1.31 представлен этот график в виде прямой 1 для случая ах > 0. По этому графику можно найти проекцию ускорения на ось X:
Чем больше ах, тем больший угол α с осью времени составляет график проекции скорости, так как за тот же промежуток времени скорость изменяется больше. Если начальная скорость отлична от нуля и тело движется с большим, но также постоянным ускорением, то график зависимости проекции скорости от времени имеет вид прямой 2 (см. рис. 1.31). В случае равнозамедленного движения с той же начальной скоростью график зависимости Теперь получим уравнения, которые позволяют рассчитывать для этого движения положение точки в любой момент времени. Допустим, движение с постоянным ускорением совершается в одной плоскости, пусть это будет плоскость XOY. Если вектор начальной скорости и вектор ускорения не лежат на одной прямой, то точка будет двигаться по кривой линии. Следовательно, в этом случае с течением времени будут изменяться обе её координаты х и у. Обозначим через x0 и у0 координаты в начальный момент времени t0 = 0, а через х и у координаты в момент времени f. Тогда за время Δt = t — t0 = t изменения координат будут равны Δх = х - х0 и Δу = у - у0. Отсюда х = х0 + Δх, (1.13)
Значит, для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать её начальные координаты и уметь находить изменения координат Δх и Δу за время движения. В случае движения, при котором проекция скорости изменяется со временем (рис. 1.32, кривая 1), величину Δx: за время t найдём следующим образом. Из § 4 мы знаем, что при равномерном движении изменение координаты точки за время Δt можно определить на графике зависимости
Разделим его на малые интервалы Δt, в пределах которых проекцию скорости можно считать постоянной и равной её среднему значению. Рассмотрим интервал Δti Тогда Δxi = В случае равноускоренного (ах = const) движения (рис. 1.32, прямая 2) изменение координаты тела Δх численно равно площади трапеции АВСО. Длины оснований ОА и ВС этой трапеции численно равны проекциям начальной и конечной скоростей, а длина высоты ОС — времени движения.
|
|
|