Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела

§ 17. Примеры решения задач по теме «Кинематика твёрдого тела

При решении задач по этой теме обращайте внимание на связь кинематических характеристик поступательного и вращательного движений. При этом могут быть в одних случаях одинаковыми угловые скорости (например, задача 2), а в других — линейные скорости движения (например, задача 1).

Задача 1. Два шкива соединены ременной передачей, передающей вращение от одного шкива к другому. Ведущий шкив вращается с частотой ν₁ = 3000 об/мин, ведомый шкив — с частотой ν₂ = 600 об/мин. Ведомый шкив имеет диаметр D₂ = 500 мм. Какой диаметр D₁ у ведущего шкива?

Р е ш е н и е. Ведущий шкив вращается с угловой скоростью ω₁ = 2πν₁, а ведомый — со скоростью ω₂ = 2πν₂. Скорость приводного ремня равна линейной скорости точек окружностей того и другого шкива: υ = ω₁R₁ = ω₂R₂.

Отсюда Следовательно, искомый диаметр

Задача 2. Колесо, радиус которого 40 см, катится по горизонтальной дороге со скоростью 2 м/с. Определите скорости относительно дороги точек колеса, находящихся на концах его вертикального и горизонтального диаметров, а также ускорения этих точек.

Р е ш е н и е. Точка О₁ неподвижна относительно земли (рис. 1.64), следовательно, υ₁ = 0. Если считать, что через точку О₁ проходит мгновенная ось вращения, то относительно неё скорости всех точек, согласно уравнению (1.29), будут равны υ = ωr, где r — расстояние от точки O₁ до выбранной точки обода. Угловая скорость вращения ω = υ₀/R.

Тогда υ_c = υ_D = ωR√2 = υ₀√2 ≈ 2,8 м/с.

Скорость точки A υ_A = 2ωR = 2υ₀ = 4 м/с.

Все точки обода относительно оси вращения движутся с одинаковыми линейными скоростями и, следовательно, с одинаковым ускорениями

Заметим, что эту задачу также можно решить на основе закона сложения скоростей. Так, например, скорость точки D равна сумме скорости ₀ подвижной системы отсчёта, связанной с осью колеса, и скорости ₁ точки обода D относительно этой оси.

Задача 3. Катушка с намотанной на неё нитью может катиться по поверхности горизонтального стола без скольжения. С какой скоростью υ₀ и в каком направлении будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью υ? Радиус внутренней части катушки r, внешней — R (рис. 1.65).

Р е ш е н и е. Скорость υ — скорость движения нити — совпадает со скоростью точки А внутренней части катушки. О_мгн — мгновенная ось вращения. Угловая скорость относительно мгновенной оси вращения ω = υ/(R - r), так как расстояние О_мгнА = R - r. Отсюда υ₀ = ωR = υR/(R - r).

Очевидно, что катушка перемещается в направлении движения конца нити. Скорость перемещения катушки будет больше, чем скорость нити.

Задача 4. Шарик радиусом r катится со скоростью υ₀ по двум рельсам, расположенным на расстоянии 2а друг от друга. Определите скорости точек А и В относительно рельсов (рис. 1.66, а).

Р е ш е н и е. Мгновенная ось вращения О_мгн в данном случае показана на рисунке 1.66, б. Угловая скорость поворота шарика относительно этой оси ω = υ₀/OM,

где

Отсюда

следовательно,

Задачи для самостоятельного решения

1. Линейная скорость периферийных точек шлифовального камня не должна превышать 95 м/с. Определите наибольшее допустимое число оборотов в минуту для диска диаметром 30 см.

2. Длина минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля 3,5 м. Определите модуль и изменение направления линейной скорости конца стрелки через каждые 15 мин в течение часа.

Повторите материал главы 1 по следующему плану

1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение.

2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы.

3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ.

4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов.

«Движение во времени и в пространстве»

1. Баллистическое движение.

2. Поступательное и вращательное движения в авиации.

3. Различные виды движения в производстве.

Примерные темы проектной и исследовательской деятельности.
«Исследование зависимости дальности полёта водяной струи от угла наклона трубки, из которой под напором выходит вода»