Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

 

 

 

 

§ 1. Понятие движения

Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Фп если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1. Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1 Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф1, состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф2, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф2 = Ф1 (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф2 отображается в фигуру Ф1. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А1 и В1. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А1В1 (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А1В1. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

Докажем, что верно и обратное утверждение.

Окончание >>>

 

 

Рейтинг@Mail.ru