Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

 

 

 

 

§ 2. Аксиома параллельных прямых

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Теорема

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.

Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A1O1B1 — данные углы и ОА || О1А1, ОВ || О1В1. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А1О1В1 — развёрнутый (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB — неразвёрнутый угол. Возможные случаи расположения углов АОВ и А1О1В1 изображены на рисунке 115, а и б. Прямая О1В1 пересекает прямую О1А1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О1В1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых О1В1 и ОА (угол 1 на рисунке 115), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Параллельные прямые ОА и О1А1 пересечены секущей О1М, поэтому либо ∠1 = ∠A1O1B1 (рис. 115, а), либо ∠1 + ∠A1O1B1 = 180° (рис. 115, б). Из равенства ∠1 = ∠AOB и последних двух равенств следует, что либо ∠AOB = ∠A1O1B1 (см. рис. 115, а), либо ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180° (см. рис. 115, б). Теорема доказана.

    рис. 115

Докажем теперь теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Теорема

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие утлы или равны, или в сумме составляют 180°.

Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A1O1B1 — данные углы, OA ⊥ O1A1, OB ⊥ O1B1. Если угол АОВ развёрнутый или прямой, то и угол А1О1В1 развёрнутый или прямой (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB < 180°, О ∉ О1А1, О ∉ О1В1 (случаи О ∈ O1А1, О ∈ О1В1 рассмотрите самостоятельно).

Возможны два случая (рис. 116).

10. ∠AOB < 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А1О1В1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A1O1B1, либо ∠COD + ∠A1O1B1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A1O1B1, либо ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180°.

20. ∠AOB > 90° (см. рис. 116, б). Проведём луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ. Угол АОС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А1О1В1. Следовательно, либо .∠AOC + ∠A1O1B1 = 180°, либо ∠AOC = ∠A1O1B1. В первом случае ∠AOB = ∠A1O1B1, во втором случае ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180°. Теорема доказана.

 

 

Рейтинг@Mail.ru