§ 15. Что такое степень с натуральным показателем

Одна из особенностей математического языка, которым мы с вами должны научиться пользоваться, состоит в стремлении применять как можно более короткие записи. Математик не будет писать а + а + а + а + а, он напишет 5а; не будет писать а + а + а + + а + а + а + а + а + а + а (здесь 10 слагаемых), а напишет 10а; не будет писать а напишет nа.

Точно так же математик не будет писать 2 • 2 • 2 • 2 • 2, а воспользуется специально придуманной короткой записью 2⁵. Аналогично вместо произведения семи одинаковых множителей 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 он запишет 3⁷. Конечно, в случае необходимости он будет двигаться в обратном направлении, например, заменит короткую запись 2е более длинной 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2.

Если появляется новое обозначение, то возникают и новые термины. И всё это (и обозначения, и термины) охватывается новым определением. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина, нового слова, нового обозначения. Просто так определения не придумываются, они появляются только тогда, когда в этом возникает необходимость.

Определение 1. Под аⁿ, где n = 2, 3, 4, 5, понимают произведение п одинаковых множителей, каждым из которых является число а. Выражение аⁿ называют степенью, число а — основанием степени, число n — показателем степени.

Подчеркнём ещё раз, что показатель степени — натуральное число (в старших классах мы снимем это ограничение); обычно говорят короче: натуральный показатель. Отсюда и происходит название как всей главы, так и этого параграфа.

Итак,

аⁿ — степень с натуральным показателем;
а — основание степени;
п — показатель степени.

Запись аⁿ читают так: «а в n-й степени». Исключение составляет запись а², которую читают: «а в квадрате» (хотя можно читать и «а во второй степени»), и запись а³, которую читают: «а в кубе» (хотя можно читать и «а в третьей степени»).

Пример 1. Записать в виде степени произведение

5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5

и использовать соответствующие термины.

Р е ш е н и е. Поскольку дано произведение шести одинаковых множителей, каждый из которых равен 5, имеем:

5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 56;

5⁶ — степень;

5 — основание степени;

6 — показатель степени.

Пример 2. Вычислить (-2)⁴.

Р е ш е н и е. (-2)⁴ = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = 16.

О т в е т: 16.

Окончание >>>