§ 19. Степень с нулевым показателем

В предыдущих параграфах мы с вами научились вычислять значение степени с любым натуральным показателем. Например:

0.21 = 0,2; З2 = 3 • 3 = 9; 43 = 4 • 4 • 4 = 64;

1⁴ = 1 • 1 • 1 • 1 = 1; (-2)⁵ = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -3²;

0⁶ = 0 • 0 • 0 • 0 • 0 • 0 = 0 и т. д.

В дальнейшем вы узнаете, что показателем степени может быть не только натуральное число. Но это произойдёт позднее, в старших классах, а пока мы сделаем лишь один скромный шаг в этом направлении: введём понятие степени с нулевым показателем, т. е. выясним, какой смысл придаётся в математике символу а0. А ведь этот символ «напрашивается». Смотрите: 2⁵ : 2³ = 2^{5 - 3} = 22, 3⁸ : 3 = 3^{8 - 1} = 3⁷. Почему бы не написать 5⁴ : 5⁴ = 5^{4 - 4} = 5⁰?

До сих пор всё было хорошо: а³ — это значит число а умножить само на себя 3 раза, а¹⁰ — это значит число а умножить само на себя 10 раз, а¹ — это просто а. А что такое а⁰? Ведь нельзя же, в самом деле, умножить число а само на себя 0 раз!

Хотелось бы, чтобы для а⁰ выполнялись привычные правила, например, чтобы при вычислении а³ • а⁰ показатели складывались: а3 • а° = а3 + 0. Но 3 + 0 = 3. Что же получается? Получается, что а³ • а⁰ = а³. Значит, а⁰ = а³ : а³ = 1 (при этом нужно ввести естественное ограничение: а ≠ 0). Проведённое рассуждение как- то мотивирует следующее определение.

Определение. Если а ≠ 0, то а⁰ = 1.

Например, (5,7)⁰ = 1; (-3)⁰ = 1; (2ⁿ)⁰ = 1 и т. д. Однако учтите, что символ 0° считается в математике не имеющим смысла.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение степени с нулевым показателем.

2. Сравните: (987 654 321)⁰ и 0^{987 654 321}.

3. Как вы думаете, можно ли отрицательное число возвести в нулевую степень?

4. Как вы думаете, почему запись 0⁰ считается в математике лишённой смысла?