Основные понятия многочлена

В главе 5 мы уже отмечали, что не любые одночлены можно складывать и вычитать, а только подобные; также отмечали и то, что реальная задача может привести к такой математической модели, в которой будет содержаться сумма неподобных одночленов. Для изучения таких сумм в математике введено понятие многочлена.

Определение. Многочленом называют сумму одночленов.

Примеры многочленов:

2а + b; 5а²b - 3ab² - 3аb² + 7с; х⁵ + х⁴ + х² - 2.

Разумеется, существуют алгебраические выражения, не являющиеся многочленами. Например;

Слагаемые (одночлены), из которых состоит многочлен, называют членами многочлена: если их два, то говорят, что дан двучлен (например, 2а + b — двучлен), если их три, то говорят, что дан трёхчлен (например, 5а² - 2сb² + 7с — трёхчлен). С этой точки зрения становится понятнее термин «одночлен» и то, что одночлен обычно считают частным случаем многочлена.

Замечание. Говорят, в Африке есть племя, считающее так: «один», «два», «три», «много». Наша терминология применительно к многочленам напоминает африканскую: одночлен, двучлен, трёхчлен, многочлен (обычно ни «четырёхчлен», ни «пятичлен» не говорят).

Теперь подготовимся к восприятию серьёзного понятия.

Рассмотрим многочлен

To, что это — многочлен, сомнению не подлежит (поскольку записана сумма одночленов), но нравится ли вам такая запись? Наверное, нет. Почему?

Во-первых, одночлен 2ab² • 3a²b не записан в стандартном виде, а мы знаем, что стандартный вид — наиболее удобная запись одночлена. Приведя его к стандартному виду, получим 6a³b³.

Аналогично надо привести к стандартному виду ещё один член многочлена, а именно Получим -2a³b³.

Теперь запись данного многочлена принимает более приятный вид:

6a³b³ - 5a - 7a + 3b² - 2a³b³ - 2b².

Во-вторых, поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, подобные одночлены можно расположить рядом, а затем сложить.

Получим

(6a³b³ - 2a³b³) + (-5а - 7а) + (3b² - 2b²) = 4а³b³ - 12а + b².

Правда, обычно подобные одночлены в многочлене не переставляют, их одинаково подчёркивают, а потом складывают:

Эту процедуру называют приведением подобных членов.

Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят, что многочлен приведён к стандартному виду (или; записан в стандартном виде).

Окончание >>>