Главная >> Алгебра 7 класс Мордкович

Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами

§ 28. Формулы сокращённого умножения (окончание)

3. Разность кубов и сумма кубов

Умножим двучлен а - b на трёхчлен а2 + ab + b2:

    (a - b)(a2 + ab + b2) = a • a2 + a • ab + ab2 - b • a2 - b • ab - b • b2 = а3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = а3 - b3.

Аналогично

    (а + b) (а2 - ab + b2) = а3 + b3

(проверьте это сами).

Итак,

(а - b) (а2 + аb + b2) = a3 - b3;                           (4)

(а + b) (а2 - аb + b2) = а3 + b3.                           (5)

Формулу (4) обычно называют разностью кубов, формулу (5) — суммой кубов (по виду правой части).

Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a2 + ab + b2 похоже на выражение а2 + 2ab + b2, которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b)2; выражение а2 - ab + b2 похоже на выражение а2 - 2ab + b2, которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b)2.

Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а2 + 2ab + b2 и а2 - 2ab + b2 называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а2 + ab + b2 и а2 - ab + b2 называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных справа налево) на обычный язык:

разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы;

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Пример 4. Выполнить умножение: (2х - 1) (4х2 + 2х + 1).

Р е ш е н и е.

Так как первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель — неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим

    (2х - 1) (4х2 + 2х + 1) = (2х)3 - 13 = 8х3 - 1.

Пример 5. Представить двучлен 27а6 + 8b3 в виде произведения многочленов.

Р е ш е н и е.

Имеем 27а6 = (3а2)3, 8b3 = (2b)3. Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу (5), прочитанную справа налево. Тогда получим

    27а6 + 8b3 = (3а2)3 + (2b)3 = (3а2 + 2b) ((3а2)2 - 3а2 • 2b + (2b)2) = (3а2 + 2b) (9а4 - 6а2b + 4b2).

В заключение ещё раз подчеркнём, что полученные в этом параграфе формулы (1)—(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)—(5) — формулы сокращённого умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)—(5) — формулы разложения на множители.

    Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте, чему равен квадрат суммы двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

2. Сформулируйте, чему равен квадрат разности двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

3. Можно ли данный многочлен представить в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений? Если можно, то сделайте это, если нет, то объясните почему:

а) а2 + 4ab + 4b2;
б) х4 - 2х2у + у2;

в) х2 + 20ху + 25у2;
г) х4 - 2х2у + 2у2.

4. Сформулируйте, чему равна разность квадратов двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

5. Вычислите устно: а) 21 • 19; б) 58 • 62.

6. Сформулируйте, чему равна сумма кубов двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

7. Сформулируйте, чему равна разность кубов двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

8. Какой из данных многочленов является полным квадратом, а какой — неполным квадратом: х2 + 5ху + 25у2, х2 - 10ху + 25 у2?

<<< К началу

 

 

???????@Mail.ru